Download Mudah Power Point dan PDF Bahan Ajar Matriks SMA Kelas X semster 1 persamaan matrik dengan menggunakan sifat dan operasi matrik

1. Bahan Ajar Matriks SMA Kelas X semster 1 persamaan matrik  dengan menggunakan sifat dan operasi matrik

2. mendeskripsikan operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah. (KI 3)  Menyajikan model matematika dari suatu• masalah nyata yang berkitan dengan matriks. (KI 4 )  Mengetahui pengertian dan istilah pada matrik  Mengetahui elemen pada matriks  Mengetahui jenis-jenis matriks  Mengetahui kesamaan dua matriks  Mengetahui operasi pada matriks Mengetahui transpose suatu matriks  Mengetahui Aplikasi Matriks dalam kehidupan sehari-hari / bidang ilmu lain  Dasar-dasar penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian  Sistem Persamaan Linear  Sifat penjumlahan, pengutangan dan perkalian bilangan real  Mengidentifikasi konsep matriks•  Mendeskripsikan matriks•  Menguraikan ciri matriks•  Menyebutkan pengertian baris pada matriks•  Menyebutkan pengertian kolom pada• matriks  Menyebutkan pengertian elemen pada• matriks  Menyebutkan pengertian ordo pada matriks•  Menyebutkan jenis-jenis matriks•  Mencontohkan jenis matriks•  Menyatakan syarat kesamaan dua matriks•  Mendapatkan transpos matriks•  Menghitung determinan matriks•  Menghitung invers matriks•  Memecahkan masalah sederhana yang• berkaitan dengan matriks 

Download Mudah Power Point Bahan Ajar Matriks SMA Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]

Download PDF Bahan Ajar Matriks SMA Kelas X semster 1 dan 2 [DOWNLOAD]

3. : PETA KONSEP Matriks Definisi Istilah pada Matriks Bentuk dan Ciri Matriks Jenis-jenis Matriks Relasi Traspos Matriks Operasi pada Matriks Matriks Baris Matriks Kolom Matriks Pesegi Matriks Nol Matriks Segitiga Matriks Diagonal Matriks Identitas / Satuan Matriks Datar Matriks Tegak Matriks Skalar Baris Kolom Elemen Ordo Kesamaan dua Matriks Penjumlahan Pengurangan Perkalian suatu bilangan real terhadap Matriks Perkalian Matriks Aplikasi Determinan MatriksInvers Matriks 

4. Fiksi Nonfiksi Pengetahuan umum Anak-anak 25 9 5 Remaja 40 35 20 Dewasa 30 50 45 Angka-angka yang ada di dalam kotak merupakan jumlah orang yang meminjam buku berdasarkan jenis buku yang dipinjam dan usia peminjam, ternyata, bentuk tabel di atas dapat dibuat lebih sederhana lagi menjadi 25 9 5 40 35 20 30 50 45 Bentuk ini disebut sebagai matriks, yang terdiri atas sejumlah baris dan kolom. Baris pertama yaitu 25 9 5 merupakan banyaknya peminjam dari kalangan anak-anak, angka 25 menunjukkan banyak anak- anak yang meminjam buku fiksi, angka 9 menunjukkan banyaknya anak-anak yang meminjam buku nonfiksi, dan seterusnya. Kolom pertama yaitu 25 40 30 merupakan banyaknya buku fiksi yang dipinjam, angka 40 menunjukkan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh remaja, angka 30 menunjukkan banyaknya buku fiksi yang dipinjam oleh dewasa, dan seterusnya. Pada bentuk matriks di atas, memiliki tiga baris dan tiga kolom, dan selanjutnya dinamakan matriks berordo tiga. Dengan menggunakan matriks, bentuk yang lebih kompleks dapat ditampilkan menjadi lebih sederhana. Mungkin matriks merupakan hal yang baru bagi kalian, tetapi mempelajari matriks tidaklah sulit. Selama kalian teliti dalam perhitungan dan memahami rumus yang diberikan, permasalahan mengenai matriks tentu dapat kalian atasi. Ada beberapa sifat matriks yang perlu kalian perhatikan. Untuk mengetahuinya, dapat kalian pelajari pada bab ini. Pernahkah kalian mengamati denah tempat duduk di kelas? Berdasarkan denah tersebut, pada baris dan kolom berapakah kalian berada? Siapa sajakah yang duduk pada baris pertama? Dengan menggunakan matriks, kalian dapat meringkas penyajian denah tersebut sehingga dengan mudah diketahui letak tempat duduk kalian dan teman-teman kalian. Seorang statistikawan sedang melakukan penelitian pada sebuah perpustakaan yang ada di suatu kota mengenai minat baca anggota perpustakaan bedasarkan usia dan jenis buku. Ia mengelompokkan usia menjadi tiga bagian yaitu anak-anak (≤12 tahun), remaja (12 tahun< x < 20 tahun) dan dewasa (>20 tahun), sedangkan jenis buku dikelompokkan menjadi buku fiksi, non fiksi, dan pengetahuan umum. Hasil penelitian yang diperoleh dituliskan dalam tabel sebagai berikut.

5. Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita di hadapkan pada masalah untuk menampilkan data atau informasi dalam bentuk tabel atau daftar. Perhatikan data atau informasi data wisudawan FMIPA UPLI pada April 2003 pada tabel1 dan data absensi suatu kelas dalam rentang waktu satu semester pada Tabel 2. Tabel 1 Jurusan Banyak Wisudawan Program Kependidikan Program Non kependidikan Matematika 34 8 Fisika 45 6 Biologi 51 12 Kimia 23 13 Tabel 2 Sakit Ijin Tanpa Keterangan Budi 1 1 3 Carli 3 2 0 Dodi 2 1 1 Sekarang marilah kita amati kembali kelompok-kelompok bilangan yang diperoleh daru Tabel 1 dan Tabel 2.  Kelompok bilangan yang dipeoleh dari Tabel 1 adalah  Kelompok bilangan yang diperoleh dari tabel 2 adalah Mengenal Bentuk dan Ciri MatriksA. 34 8 45 6 51 12 Susunan bilangan ini berbentuk persegi panjang 1 1 3 3 2 0 2 1 1 Susunan bilangan ini berbentuk persegi 23 13

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 1-6 Mapel Matematika Lengkap 

6. Matriks adalah kelompok bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang atau persegi. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Nama suatu matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital, seperti A, B, C, … dst. Definisi Matriks Apakah kelompok bilangan berikut merupakan matriks ? a. 3 2 −3 9 c. 4 8 b. 5 7 1 2 −1 9 d. 4 7 3 6 Ayo Amati 3 9 Menurut definisi matriks maka: a. Kelompok bilangan 3 2 −3 9 merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. b. Kelompok bilangan 5 7 1 2 −1 9 merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi panjang dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom. c. Kelompok bilangan . 4 8 bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segitiga. d. Kelompok bilangan 4 7 3 6 bukan matriks, sebab susunannya tidak berbentuk persegi maupun persegi panjang, tetapi segilima. 3 9

7. Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horizontal dalam matriks. Kolom dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks. Sedangkan elemen atau unsur suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu. Elemen dari suatu matriks dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, ... dan biasanya disesuaikan dengan nama matriksnya. Misalkan pada matriks A, elemen- elemennya biasanya dinyatakan dengan a. Biasanya elemen-elemen dari suatu matriks diberi tanda indeks, misalnya yang artinya elemen dari matriks A yang terletak pada baris i dan kolom j. * 2 1 5 −1 7 9 −7 8 4 2 6 4 + Pengertian dan Istilah dalam MatriksB. Pengertian Baris, Kolom, dan Elemen Matriks Contoh Baris pertama dengan elemen-elemen 2, 1 dan 5 Baris kedua dengan elemen-elemen -1, 7 dan 9 Baris ketiga dengan elemen-elemen -7, 4 dan 6 Baris keempat dengan elemen-elemen 8, 2 dan 4 Kolom ketiga dengan elemen-elemen 5,9,6 dan 4 Kolom kedua dengan elemen-elemen 1,7,4 dan 2 Kolom pertama dengan elemen-elemen 2, -1, -7 dan 8 Pada tabel berikut ditunjukkan jarak antara dua kota dalam kilometer (km). Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor 0 130 367 428 675 126 130 0 237 317 545 256 367 237 0 115 308 493 428 317 115 0 327 554 675 545 308 327 0 801 126 256 493 554 801 0 a) Dengan menghilangkan judul baris dan judul kolom, tulislah matriks yang diperoleh! b) Berapa banyak baris dan banyak kolom yang Anda peroleh dari soal a)? c) Sebutkan elemen-elemen pada setiap baris! d) Sebutkan elemen-elemen pada setiap kolom! Ayo Berlatih

8. Banyak baris dan kolom dari suatu matriks menentukan ordo atau ukuran bagi matriks itu. Bilangan 2 3 yang ditulis agak ke bawah di sebut sebagai subscrip atau indeks. Jika diamati lebih lanjut, banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2 3 = 6 yaitu merupakan hasil kali antara banyak baris dengan banyak kolom dari matriks A. Misalkan matriks A terdiri atas m baris dan n kolom, maka matriks A dikatakan berordo dan ditulis sebagai . Banyak elemen matriks A adalah ( buah dengan elemen-elemen matriks itu dilambangkan dengan (i dari 1 sampai dengan m dan j dari 1 sampai dengan n). secara umum matriks A dapat ditulis dengan notasi berikut: ( ) Pengertian Ordo Matriks 𝐴 17 13 15 16 15 1 Berapakah banyak baris dari matriks A? (2) Berapakah banyak kolom dari matriks A? (3) Dalam hal demikian matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 3 dan dituliskan dengan menggunakan notasi 𝐴 Ayo perhatikan Ordo atau Ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan banyak kolom dari matriks itu. Ordo suatu matriks ditulis sebagai perkalian dua buah bilangan bulat positif dengan bilangan pertama menyatakan benyaknya baris, dan bilangan kedua menyatakan banyaknya kolom. Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu. Banyak baris = m Banyak kolom = n

9. Beberapa jenis matriks berdasarkan ordo dan elemen-elemen matriks adalah sebagai berikut : Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris saja. Matriks baris berordo 1 , dengan n adalah jumlah kolom. Contoh : (1 −1 5 2 9 3 , matriks A merupakan matriks baris yang terdiri atas 6 kolom, memiliki 6 elemen, serta berordo 1 × 6. (−3 7 −1 , matriks B merupakan matriks baris yang terdiri atas 3 kolom, memiliki 3 elemen, serta berordo 1 × 3. Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Matriks baris berordo 1, dengan m adalah jumlah baris. Contoh : ( 4 −9 1 3 ), matriks C merupakan matriks kolom yang terdiri atas 3 baris, memiliki 3 elemen, serta berordo 3 × 1. ( −2 −5 7 12 0 6 5 ) , matriks D merupakan matriks kolom yang terdiri atas 7 baris, memiliki 7 elemen, serta berordo 7 × 1. Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan nilai m=n, sehingga diperoleh matriks berordo n×n atau banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom disebut juga matriks persegi berordo/ berukuran n. Contoh : 1 −1 4 7 , matriks E merupakan matriks persegi berordo dua. Jenis MatriksC. 1. Matriks Baris Jumlah elemen pada matriks baris sama dengan jumlah kolomnya. 2. Matriks Kolom Jumlah elemen pada matriks kolom sama dengan jumlah barisnya. 3. Matriks Persegi

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 1-6 Mapel PAI Lengkap

10. ( 5 3 6 −7 8 0 3 2 1 1 −4 7 8 11 0 1 ), matriks F merupakan matriks persegi berordo empat. ( 1 4 5 7 6 −3 0 3 3 ) Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol, contoh : ( 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yang ada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.  Matriks segitiga dengan elemen-elemen di bawah diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 2 −1 4 0 7 6 0 0 1 )  Matriks segitiga dengan elemen-elemen di atas diagonalnya utama semuanya bernilai nol ( 1 0 0 0 −3 5 0 0 7 4 9 −2 8 0 10 3 ) 𝑎 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛𝑛 Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Dalam suatu matriks persegi, elemen-elemen yang terletak pada garis hubung elemen 𝑎 dengan elemen 𝑎 𝑛𝑛 dinamakan sebagai diagonal utama (DU), sedangkan elemen- elemen yang terletang pada garis hubung elemen 𝑎 𝑛 dengan elemen 𝑎 𝑛 dinamakan sebagai diagonal samping (DS). Berikut ini diberikan contoh bagaimana menentukan letak elemen-elemen pada diagonal utama dan letak elemen- elemen pada diagonal samping dari suatu matriks persegi. Diagonal samping (DS) Diagonal Utama (DU) Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama adalah 6, -3 dan 5. Sedangkan elemen-elemen yang terletak pada diagonal samping adalah 5, -3 dan 6. 4. Matriks Nol 5. Matriks Segitiga

11. Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Contoh: ( 1 0 0 0 −3 0 0 0 7 ) , −3 0 0 4 Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Matriks identitas berordo n dilambangkan dengan . ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 1 0 0 1 ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ) Misalkan suatu matriks berordo m×n dengan m<n, ini berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris. Oleh karena kolomnya lebih banyak dibandingkan dengan barisnya, maka susunan elemen-elemennya akan memanjang atau mendatar. Matriks yang berciri demikian disebut dengan matriks datar. 1 −1 5 0 11 7 , ( 4 −5 1 2 7 4 6 −7 5 11 2 3 ) Jika m>n maka banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang tegak. Matriks yang berciri demikian disebut sebagai matriks tegak. ( 1 −1 2 3 5 −2 ) ( 7 11 3 −4 −7 8 4 6 ) Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, ( 2 0 0 0 2 0 0 0 2 ) ( −3 0 0 0 0 −3 0 0 0 0 0 0 −3 0 0 −3 ) 6. Matriks Diagonal 7. Matriks Identitas / Matriks Satuan 8. Matriks Datar 9. Matriks Tegal 10. Matriks Skalar

12. Kesamaan Dua MatriksD. Dua kompleks perumahan ruko di daerah Tangerang memiliki ukuran yang sama dan bentuk bangunan yang sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan denah pembagian gedung-gedung ruko tersebut. Dari denah di atas dapat dicermati bahwa Blok Asama dengan Blok B, karena banyak Ruko di Blok Asama dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko di Blok B. Artinya 10 Ruko di Blok Adan Blok B dibagi dalam dua jajaran. Ayo Amati Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A= B), jika dan hanya jika: [i] Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B. [ii] Setiap pasangan elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 (untuk semua nilai i dan j)

13. Untuk matriks-matriks berikut ini, tentukan matriks-matriks mana saja yang sama. 1 3 −4 5 3 4 1 −5 1 3 −4 5 Jawab :  Matriks Y dan P berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Jadi Y tidak sama dengan P, ditulis Y≠P.  Matriks Y dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Jadi Y tidak sama dengan Q, ditulis Y=Q.  Matriks P dan Q berordo sama, akan tetapi elemen-elemen yang seletak tidak sama. Jadi P tidak sama dengan Q, ditulis P≠Q. Misalkan diketahui matriks A dan matriks B sebagai berikut: ( 2 −3 3 2 ) 2 −3 9 14 Jika matriks A dan matriks B, tentukan nilai x dan y. Jawab:  Matriks A berordo 2×2 dan matriks B juga berordo 2×2, sehingga ordo matriks A=ordo matriks B. Ini berarti syarat perlu bagi kesamaan dua matriks telah terpenuhi.  Syarat cukup bagi kesamaan matriks A dan matriks B adalah yang seletak harus bernilai sama, sehingga diperoleh hubungan:  33 9   12 14  Jadi jika A=B maka nilai x=3 dan nilai y=7. Contoh 2 Contoh 1 𝑌 1 3 −4 5 𝑄 1 3 −4 5 Elemen seletak Elemen seletak

14. Transpos suatu MatriksE. Dalam mendapatkan informasi yang berbentuk tabel, kadang-kadang Anda mendapatkan dua tabel yang berbeda namun memiliki makna yang sama. Sebagai ilustrasi, perhatikan contoh berikut. Sebuah lembaga kursus bahasa asing memiliki program kursus Bahasa Inggris, Bahasa rab, dan Bahasa Mandarin. Pada lembaga tersebut, jumlah kelas kursus pada setiap program di setiap harinya tidak selalu sama. Banyaknya kelas di setiap program kursus dapat disajikan dalam dua tabel berbeda dengan makna sama berikut. Secara lebih sederhana, kedua tabel tersebut dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks berikut. Misalkan untuk tabel pertama dinamakan matriks Adan tabel kedua matriks B. Dengan demikian, bentuk matriks dari kedua tabel di atas adalah 𝐴 ( 6 4 4 2 4 5 4 3 3 4 5 8 ) dan 𝐵 ( 6 4 3 4 5 4 4 2 4 3 5 8 ) Sekarang, ayo perhatikan setiap elemen pada kedua matriks tersebut, kemudian bandingkan. Kesimpulan apa yang akan didapat? Dengan membandingkan matriks A dan matriks B tersebut, Anda dapat mengetahui bahwa elemen-elemen pada baris pertama matriks A merupakan elemen-elemen pada kolom pertama matriks B. Demikian pula dengan elemen-elemen pada baris kedua dan ketiga matriks Amerupakan elemenelemen pada kolom kedua dan ketiga matriks B. Dengan demikian, matriks B diperoleh dengan cara menuliskan elemen setiap baris pada matriks A menjadi elemen setiap kolom matriks B. Matriks yang diperoleh dengan cara ini dinamakan sebagai matriks transpos. Ayo Analisis Misalkan A matriks sebarang. Transpos matriks A adalah matriks B yang disusun dengan cara menuliskan elemen setiap baris matriks A menjadi elemen setiap kolom pada matriks B. Transpos dari matriks A di lambangkan dengan B = 𝐴𝑡 (dibaca: A transpos), B = 𝐴′ (dibaca: A aksen) atau B = 𝐴(dibaca: putaran A) Definisi

15. Berdasarkan definisi transpos matriks, jika Anda memiliki matriks A yang berordo m × n maka transpos A, yaitu memiliki ordo n × m. a) Jika (3 5 −1 , maka transpos dari P adalah ′ ( 3 5 −1 ) b) Jika 7 2 −4 −3 , maka transpos dari Q adalah ′ 7 −4 2 −3 c) Jika ( 9 7 −11 5 3 2 ), maka transpos dari R adalah 9 −11 3 7 5 2 d) Jika ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) maka transpos dari S adalah ′ ( 2 3 −1 6 3 3 4 −2 −1 6 4 −2 9 1 1 8 ) Sebagai akibat dari definisi di atas, jika A adalah matriks simetris maka transpos dari matriks A sama dengan A itu sendiri atau . Transpos dari matriks A berordo m × n adalah sebuah matriks 𝐴𝑡 berordo n × m yang disusun dengan proses sebagai berikut:  Baris pertama matriks A ditulis menjadi kolom pertama dalam matriks 𝐴𝑡 .  Baris kedua matriks A ditulis menjadi kolom kedua dalam matriks 𝐴𝑡 .  Baris ketiga matriks A ditulis menjadi kolom ketiga dalam matriks 𝐴𝑡 . demikian seterusnya  Baris ke-m matriks A ditulis menjadi kolom ke-m dalam matriks 𝐴𝑡 . Contoh 𝑆 𝑆 𝑡 Perhatikan matriks S. Ternyata transpos dari matriks S sama dengan matriks S itu sendiri. Matriks S yang berciri demikian disebut matriks simetris atau matriks setangkup. Misalkan A adalah matriks persegi berordo n. Matriks A disebut matriks simetris atau matriks setangkap jika dan hanya jika elemen-elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama berinilai sama. Ditulis : 𝑎𝑖𝑗 𝑎𝑗𝑖 dengan 𝑖 ≠ 𝑗. Definisi

16. Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi hubungan 𝑃 𝑡 = Q, bila 𝑃 𝑏 − 5 3𝑎 − 𝑐 4 3 6 7 dan 𝑄 ( 2𝑎 − 4 3𝑏 𝑑 + 2𝑎 2𝑐 4 7 ) Ayo Berlatih Operasi pada MatriksF. Penjumlahan Matriks Di suatu kota terdapat dua toko meubel toko meubel ‘abadi’ dan toko meubel ‘Jaya’ . beberapa jenis meubel yang dijual di toko itu adalah rak piring, almari dan kasur. Berikut ini adalah persediaan meubel yang ada di kedua toko tersebut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 4 5 4 Toko ‘Jaya’ 2 9 3 Untuk menambah persediaan barang, kedua pedagang tersebut pada hari yang sama melakukan pembelian meubel-meubel baru yang jumlahnya disajikan pada tabel berikut. Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 11 7 8 Toko ‘Jaya’ 18 4 5 Berapa banyakkah pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko setelah dilakukan pembelian tersebut? Untuk menjawab pertanyaan sangat mudah bagi Anda untuk mendapatkan jawabannya. Langkah yang dilakukan adalah menjumlahkan banyaknya meubel pada persediaan awal dengan meubel yang dibeli sebagai penambahan persediaan. Tentu saja yang dijumlahkan harus sejenis dan pada toko yang sama, misalnya banyak rak piring yang ada di toko ‘Abadi’ dijumlahkan dengan banyaknya banyak rak piring yang dibeli oleh toko ‘Abadi’ (yang dijumlahkan harus bersesuaian). Kedua tabel tersebut dapat disederhanakan dan diubah ke dalam bentuk matriks. Selanjutnya melakukan pejumlahan matriks, yaitu yang dijumlahkan adalah elemen-elemen yang seletak. Berikut definisi dari penjumlahan matriks. Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka jumlah dari matriks A dan B(ditulis A+ B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi 

Lihat Juga: RPP, SK, KD dan KTSP SD kelas 4 semester 1

17. Kedua tabel pada uraian tersebut jika diubah ke dalam bentuk matriks dan dijumlahkan adalah sebagai berikut: 4 5 4 2 9 3 11 7 8 18 4 5 + 4 5 4 2 9 3 + 11 7 8 18 4 5 4 + 11 5 + 7 4 + 8 2 + 18 9 + 4 3 + 5 15 12 12 20 13 8 Berdasarkan informasi dari penjumlahan matriks tersebut, diperoleh informasi persediaan meubel di kedua toko tadi adalah seperti disajikan pada tabel berikut: Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 15 12 12 Toko ‘Jaya’ 20 13 8 Misalkan A, B, C dan D adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan matriks : 1. Bersifat komutatif : A + B = B + A 2. Bersifat asosiatif : (A + B) + C = A + (B + C) 3. Terdapat sebuah matriks identitas, yaitu matriks O (matriks nol) yang bersifat A + O = O + A = A 4. Semua matriks A mempunyai lawan atau negatif A yang bersifat A + (-A) = O Sifat-sifat Penjumlahan Matriks Pengurangan Matriks Dari stok terakhir kedua toko meubel tadi, di hari berikutnya beberapa pelanggan datang untuk membeli sejumlah meubel di masing-masing toko meubel tersebut. Dengan jumlah meubel yang terjual di hari itu yaitu : Rak piring almari kasur Toko ‘Abadi’ 3 8 2 Toko ‘Jaya’ 4 7 2 Berapa banyakkah sisa pesediaan ketiga jenis meubel yang ada di masing-masing toko setelah dilakukan adanya pembelian di hari tersebut?

18. Sama halnya seperti pada operasi penjumlahan matriks, pada operasi pengurangan matriks berlaku pula ketentuan kesamaan ordo antara matriks yang bertindak sebagai matriks pengurang dan matriks yang akan dikurangi. Pada kasus tadi, maka diperoleh : Stok awal = 15 12 12 20 13 8 Penjualan = 3 8 2 4 7 2 − 15 12 12 20 13 8 + 3 8 2 4 7 2 15 − 3 12 − 8 12 − 2 20 − 4 13 − 7 8 − 2 12 4 10 16 6 6 Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama maka pengurangan matriks A oleh matriks B (ditulis A- B) adalah sebuah matriks baru yang diperoleh dengan cara mengurangkan setiap elemen matriks A dengan elemen-elemen matriks B yang seletak (bersesuaian). Definisi Pada pengurangan matriks berlaku sifat antikomutatif, dimana : 𝐴 − 𝐵 ≠ 𝐵 − 𝐴 Perkalian Suatu Bilangan Real terhadap Matriks Dalam aljabar, perkalian terhadap suatu bilangan merupakan penjumlahan berulang dari bilangan tersebut. Misalnya, perkalian berikut. 2𝑎 𝑎 + 𝑎 𝑘𝑎 𝑎 + 𝑎 + ⋯ + 𝑎 Dalam matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan 𝐻 2 −1 0 1 , tentukan 2H dan -2H 2𝐻 𝐻 + 𝐻 2 −1 0 1 + 2 −1 0 1 = 2 + 2 −1 + (−1 0 + 0 1 + 1 = 2 2 2 (−1 2 0 2 1 Jadi, matriks 2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks H dengan matriks H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian 2 dengan setiap elemen pada matriks H. Sebanyak k buah

19. Jika A sebarang matriks, dan k sebarang bilangan real maka kA adalah sebuah matriks baru yang elemen-elemennya diperoleh dari hasil perkalian kdengan setiap elemen matriks A. Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Definisi −2𝐻 −𝐻 + (−𝐻 −𝐻 − 𝐻 − 2 −1 0 1 − 2 −1 0 1 = −2 1 0 −1 + −2 1 0 −1 = ( −2 + (−2 1 + 1 0 + 0 −1 + (−1 ) = −2 2 −2 (−1 −2 0 −2 1 Jadi, matriks –2H adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan matriks –H dengan matriks -H, atau dengan kata lain hasil dari perkalian –2 dengan setiap elemen pada matriks H. Diketahui matriks-matriks berikut 𝐴 3 9 −1 2 𝐵 7 −3 2 1 Tentukan : 1. (2+3)A 4. 2A+3A 2. 3(A+B) 5. 3A+3B 3. 3(2A) 6. 6A Ayo Berlatih Penyelesaian : 1. (2+3)A = 5 3 9 −1 2 = 15 45 −5 10 2. 3(A+B) = 3 ( 3 9 −1 2 + 7 −3 2 1 ) = 3× 10 6 1 3 = 30 18 3 9 3. 3(2A) = 3 ×(2 3 9 −1 2 ) = 3 × 6 18 −2 4 = 18 54 −6 12 4. 2A+3A = 2× 3 9 −1 2 +3× 3 9 −1 2 = 10 18 −2 4 + 15 27 −3 6 = 15 45 −5 10 4. 3A+3B = 3× 3 9 −1 2 + 3 7 −3 2 1 = 9 27 −3 6 + 21 −9 6 3 = 30 18 3 9 5. 6A = 6 3 9 −1 2 = = 18 54 −6 12

20. Penyelesaian dari permasalahan tersebut bisa diselesaikan dengan menggunakan aljabar biasa atau menggunakan matriks. Dalam hal ini, permasalahan tersebut akan diselesaikan menggunakan matriks, sebagai pengantar untuk memahami perkalian matriks yang akan Anda pelajari.Langkah pertama adalah menuliskan model dari masalah tersebut menjadi bentuk matriks, sehingga diperoleh:  Data banyaknya bolpoin dan buku yang dibeli oleh Riki dan Fera (dinyatakan oleh matriks P), yaitu 3 2 2 5  Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu 1000 2500 Elemen baris pertama dan kolom pertama matriks P menyatakan banyak nya bolpoin yang dibeli Riki, sedangkan elemen baris pertama dan kolom pertama matriks Qmenyatakan harga bolpoin. Dengan demikian, untuk mengetahui harga beli semua bolpoin yang dibeli Riki adalah dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom pertama matriks P dengan elemen baris pertama kolom pertama matriks Q. Dalam hal ini, (3)(1.000). Begitu pula untuk harga beli buku yang dibeli Riki, yaitu dengan cara mengalikan elemen baris pertama kolom kedua matriksPdengan elemen baris kedua kolom pertama matriks Q, dalam hal ini (2)(2.500). Harga belanjaan yang dibayar Riki adalah penjumlahan dari hasil kali tadi, yaitu (3)(1.000) + (2)(2.500) Misalkan p dan q adalah bilangan real, A dan B adalah matriks-matriks berordo m×n, maka perkalian bilangan real dengan matriks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. (p+q)A=pA+qA 3. p(qA) = pq(A) 5. (-1)A=-A 2. p(A+B)=pA+pB 4. 1A=A Sifat-sifat Perkalian suatu Bilangan Real terhadap Matriks Perkalian Matriks Riki dan Fera membeli alat tulis di koperasi sekolah. Riki membeli 3 buah bolpoin dan 2 buku, sedangkan Fera membeli 2 buah bolpoin dan 5 buku. Jika harga sebuah bolpoin Rp1.000,00 dan harga sebuah buku Rp2.500,00, berapakah harga belanjaan yang harus dibayar oleh masingmasing siswa tersebut? Permasalahan tersebut dapat disajikan dalam bentuk tabel berikut:

 21. = 3.000 + 5.000 = 8.000. Jadi, harga belanjaan Riki Rp8.000,00. Tentukan harga belanjaan yang harus dibayar oleh Fera? Dari uraian tersebut, dapat Anda ketahui bahwa untuk mendapatkan besarnya harga belanjaan kedua siswa tersebut adalah dengan cara mengalikan matriks P dan Q, sebagai berikut: 3 2 2 5 1000 2500 3 1000 + 2 2500 2 1000 + 5 2500 8000 14500 Perkalian tersebut dinamakan perkalian matriks. Ketentuan yang harus Anda ingat, yaitu perkalian dua matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom pengali (matriks pertama yaitu P) sama dengan banyaknya baris matriks yang dikalikan (matriks kedua yaitu Q). Dari uraian diketahui bahwa ordo P2 × 2 dan Q2 × 1 dan hasil kalinya berordo 2 × 1. (2 2 (2 1 (2 Secara umum, jika matriks Pberordo m× pdan matriks Q berordo p× n maka matriks hasil kali PQ berordo m× n. Definisi Perkalian Matriks Dua buah matriks Adan Bdapat dikalikan (ditulisAB) jika banyak kolom pada matriks Asama dengan banyak baris pada matriks B. Elemen-elemen pada matriks AB diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen baris pada matriks Adengan elemen kolom pada matriks B. Definisi Ordo hasil Sama Diketahui matriks-matriks berikut 𝑃 −1 0 2 1 𝑄 −3 1 5 7 𝑅 2 5 −1 4 −3 0 𝑆 4 1 7 2 Tentukan : 1. PQ 2. QR 3. RP 4. QP 5. P(QS) 6. (PQ)S Ayo Berlatih

22. Pada bagian sebelumnya, Anda telah mengenal matriks persegi, yaitu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Pembahasan materi determinan matriks persegi yang dibahas di materi kali ini dibatasi hanya sampai matriks 3 ×3 Matriks berordo 2 ×2 yang terdiri atas dua baris dan dua kolom. Pada bagian ini akan dibahas determinan dari suatu matriks berordo 2 ×2. Misalkan Aadalah matriks persegi ordo 2 ×2 dengan bentuk A= Berdasarkan defi nisi determinan suatu matriks, Anda bisa mencari nilai determinan dari matriks A, yaitu: Pada bagian ini, Anda akan mempelajari determinan mariks berordo 3 ×3. Misalkan A matriks persegi berordo 3 ×3 dengan bentuk ( ) Untuk mencari determinan dari matriks persegi berordo 3 ×3, akan digunakan suatu metode yang dinamakan metode Sarrus. Adapun langkahlangkah yang harus Anda lakukan untuk mencari determinan matriks berordo 3 ×3 dengan metode Sarrusadalah sebagai berikut: Determinan MatriksG. Determinan Matriks Persegi Determinan Matriks 2 ×2 Determinan matriks Adi definisikan sebagai selisih antara perkalian elemenelemen pada diagonal utama dengan perkalian elemen-elemen pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks Adinotasikan dengan det Aatau |A|. Nilai dari determinan suatu matriks berupa bilangan real. Definisi Determinan Matriks 3 ×3

23. 1. Salin kembali kolom pertama dan kolom kedua matriks A di sebelah kanan tanda determinan. 2. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal utama (lihat gambar). Nyatakan jumlah hasil kali tersebut dengan D11 | | D11= + + 3. Hitunglah jumlah hasil kali elemen-elemen pada diagonal sekunder dan diagonal lain yang sejajar dengan diagonal sekunder (lihar gambar). Nyatakan jumlah hasil harga tersebut dengan D1 | | D11= + + 4. Sesuai dengan defi nisi determinan matriks maka determinan dari matriks Aadalah selisihantara D1 dan D11 yaitu D11-D1 det | | = + + − ( + + Invers MatriksH. Ketika di SMP, Anda telah mempelajari operasi hitung pada bilangan. Pada saat mempelajari konsep tersebut, Anda dikenalkan dengan istilah invers (kebalikan) bilangan. Suatu bilangan jika dikalikan dengan inversnya akan menghasilkan unsur identitas. Senada dengan hal tersebut, dalam aljabar matriks pun berlaku ketentuan seperti itu. Ketika Anda mengalikan suatu matriks dengan matriks inversnya, akan dihasilkan identitas, yang dalam hal ini adalah matriks identitas.Sebagai ilustrasi bagi Anda, perhatikanlah perkalian matriks-matriks berikut.  Misalkan A=• −3 −1 5 2 dan B −2 −1 5 3 AB= −3 −1 5 2 −2 −1 5 3 = 6 − 5 3 − 3 −10 + 10 −5 + 6 = 1 0 0 1 𝐼2 Perkalian AB menghasilkan 𝐼2 (matriks identitas berordo 2 x 2) −7 2 1 −2
•  24. Berdasarkan perkalian-perkalian tersebut, ada hal yang harus Anda ingat, yaitu perkalian matriks A dan matriks Bmenghasilkan matriks identitas (AB= I ) Ini menunjukkan matriks Bmerupakan matriks invers dari matriks A, yaitu B= A–1 atau bisa juga dikatakan bahwa matriks Amerupakan invers dari matriks B, yaitu A= B–1 . Begitu pulauntuk perkalian matriks Pdan matriks Q berlaku hal serupa. Misalkan Adan Badalah dua matriks yang berordo 2 × 2 dan memenuhi persamaan AB= BA= I2 maka matriks A adalah matriks invers dari matriks B atau matriks B adalah matriks invers dari matriks A. Definisi  Misalkan P=• −7 2 4 1 dan Q 1 −2 4 −7 PQ= −7 2 4 1 1 −2 4 −7 = −7 + 8 14 − 14 −4 + 4 8 − 7 = 1 0 0 1 𝐼2 Perkalian PQ menghasilkan 𝐼2

25. Setelah Anda memahami defi nisi invers matriks, selanjut nya akan diperlihatkan kepada Anda penurunan rumus invers matriks ordo 2 × 2 sebagai berikut. Misalkan A= dan B= . Jika B=A-1 , bagaimana antara elemen-elemen pada matriks A dan elemen-elemen pada matriks B? 1 0 0 1  ( + + + + ) 1 0 0 1 Berdasarkan konsep kesamaan dua matriks, Anda peroleh + 1…(1) + 0…(2) + 0…(3) + 1…(4) Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear (1) dengan (3) dan (2) dengan (4), diperoleh: , , , s ( ) − − − − , dengan ad-bc≠0 Oleh karena ad-bc = det A, maka − − Misalkan A= 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 , invers dari A adalah 𝐴 , yaitu 𝐴 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 , dengan det A≠0

26. Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode grafik, metode eliminasi,dan metode substitusi. Pada bab ini, kita akan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut dengan menggunakan matriks. Misalkan, sistem persamaan linear berikut: + + Sistem persamaan linear tersebut dapat kita tuliskan dalam persamaan matriks berikut: Persamaan matriks ini dapat kita selesaikan dengan menggunakan sifat berikut: Aplikasi MatriksI. Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Misalkan p dan q adalah bilangan real, A dan B adalah matriks-matriks berordo m×n, maka memenuhi sifat-sifat sebagai berikut 1. AB ≠ BA Tidak komutatif 2. 2. A(BC) = (AB)C Asosiatif 3. 3. A(B+ C) = AB+ AC Distributif 4. 4. (A+ B)C= AC+ BC Distributif 5. 5. k(AB) = kA(B) = A(kB) Asosiatif 6. 6. IA= AI= A Perkalian dengan Identitas 7. (𝐴 + 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 + 𝐵 𝑡 8. (𝐴𝑡 𝑡 𝐴 9. (𝑘𝐴 𝑡 𝑘𝐴𝑡 , k adalah konstanta 10. (𝐴𝐵 𝑡 𝐵 𝑡 𝐴𝑡 11. 𝐴 𝑎𝑑 𝑏𝑐 𝑑 −𝑏 −𝑐 𝑎 Misalkan Adan Badalah matriks sebarang yang memiliki invers, AB dan BA juga memiliki invers maka berlaku hubungan berikut. 1. (AB)–1 = B–1 • A–1 2. (BA)–1 = A–1 . B–1 Sifat-sifat Matriks

27. 1. Jika AX=B, maka X=A-1 B, dengan |A|≠0 2. Jika XA=B, maka X=B-1 A, dengan |A|≠0 Matriks dapat digunakan dalam penentuan persamaan reaksi karena persamaan reaksi merupakan penerapan aljabar linier.Persamaan yang digunakan adalah : A v = 0 dengan A merupakan matriks dengan kolom mewakili n zat kimia dan m baris yang mewakili m unsur. Sedangkan v merupakan matriks stoikiometri yang kolomnya mewakili koefisien-koefisien zat-zat yang bereaksi dan 0 adalah matriks 0 yang menunjukkan bahwa dalam keadaan setimbang jumlah unsure yang bereaksi adalah tetap. Penyelesaian matriks v tersebut menggunakan invers matriks. Matriks Fock atau lebih dikenal sebagai operator Fock adalah matriks yang digunakan untuk menghitung kesetimbangan energi suatu elektron terhadap intinya. Pada perhitungan kimia kuantum menggunakan metode Hartree-Fock, perhitungan matriks Fock merupakan awal proses kalkulasi numerik berulang. - Setiap pehitungan keseimbangan energi satu elektron akan diwakili oleh satu Matriks Fock. - Dalam matriks Fock, tidak terkandung nilai energi elektron. Persamaan ini hanya memiliki nilai rata-rata tolakan antar elektron. - Matriks Fock merupakan pendekatan dari operator Hamiltonian dan disebut operator Fock karena matriks ini nantinya digunakan dalam perhitungan kimia kuantum untuk orbital atom atau orbital molekul. Persamaan yang sering digunakan adalah persamaan Roothaan dalam metode numerik. Penerapan nilai eigen terdapat dalam kimia kuantum, terutama yang berkenaan dengan struktur atom polielektron, teori orbital molekul, dan teori vibrasi molekul. Nilai eigen suatu matriks dapat kalian pelajari pada pembahasan matris selanjutnya. Sebelum itu, kalian tetap harus menguasi konsep dasar matriks yang berada pada bab ini. Menentukan Persamaan Reaksi dengan Matriks Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Determinan matriks dapat digunakan untuk menentukan energi transisi Penggunaan Matriks Focks dalam Kimia Nilai Eigen dan Penerapannya dalam Kimia.

Bagikan Artikel ini